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【数学・受験】選りすぐりの10問!直感に反する面白い確率問題



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今日は少し趣旨を変えて、皆さんに問題を出してみようと思います。

 

解答編はこちら!

でもガチの解説なので、解いてから見ることを全力で勧めます。

www.chishikiyoku.com

 

 

テーマはずばり、直感に反する確率問題』

ただ、必ず出てくるモンティホール問題はみんな飽き飽きしてるので出さない

 *1

 

しばしば確率というのは我々の直感的な予想を大きく外れます。

私が今回集めたのはそういう問題ばかりで、きっと一筋縄ではいきません。

その代わり、皆さんに楽しいひとときと頭の苦痛とを与えてくれるはず。高校数学の知識までで十分な難易度にしてあります。大学レベルのも知ってるとトクだろうけど。

 

心してかかりましょう!

 

まず例題から。皆さんがいかに確率を苦手としているか、実感してもらいます。

 

3秒で答えてください。

例題・みずみずしいキュウリ

ここに100グラムの1つのキュウリがある。このキュウリは収穫されたばかりで非常にみずみずしいので全体の重さの99%が水分だ。

しかし炎天下に放置したままだったので、水分が全体の重さの98%に減ってしまった。

 

さて、放置後のキュウリは何グラムだろうか?

 

……

 

 

 

 

 

 

 

どうでしょう。

図を書きます。

 

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*2

ここまでは大丈夫だろう。

 

ここからが問題になる。

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水分がいくら蒸発しても、その他の成分の重さは変わりようがないから、蒸発後も1g。

 

全体の重さの2%がその他の成分……つまり1gなのだから、そこから逆算すると、

 

全体の重さは50gになります。

 

えぇ!?半分!!!

と驚かれた方が多いと思います。

人間の直感なんて、そんなもん。

確率とは、0から1の範囲をとる変数ですが、つまりは小数、分数の話。小数分数とは割合の話ですが、人間は割合を扱うのが非常にへたっぴで、すぐ騙されてしまいます。*3

割合を扱うのがこんなに苦手なのだから、況や確率をや。

 

 

 

というように存分に脅してから、本問がスタート。

健闘を祈ります。

計算が煩雑なものもあるので、関数電卓やそれに類するものがあるとなおよいですね。

 

 

あ、そうだ。

まず自分が5秒で考えた「直感での答え」を横にメモっといて、後から正答と比べてみましょう。驚くほど一致しないことがわかるはずです。

 

2つのサイコロ

ここに見分けのつかない2つのサイコロがある。*4

サイコロは完璧で、どの目も等しい確率で出る。

私はあなたに背を向けてそれらを振ったため、出目は確認できなかった。

しかし私は2つのサイコロの出目を、あなたにわからないように見ながら「少なくとも1つは6が出てますよ」と言う。

私の言うことが本当ならば、両方とも6である確率はどれぐらいだろう。

 

 

箱に隠したトランプは…?

早稲田の入試。

 

ジョーカー抜きの52枚のトランプが1組ある。

このトランプをよくシャッフルし、カードの山から一番上のカードのみを引き抜き、オモテを見ずに不透明な箱の中に入れた。その後もう一度よく山を混ぜ、3枚引いたところ、その3枚は全てハートの図柄だった。

このとき、最初に箱の中に入れたカードもハートの図柄である確率を求めよ。

 

ガチャ

オンラインゲームのガチャとは、「一定の確率で珍しいアイテムを引くことができるアイテム抽選装置」のことである。

従って普通のガチャポンと違い、中身が減ることはない

 

さて、レアアイテムの当選率1%、残り99%は外れアイテムのガチャを100回引き、少なくとも1回はあたりが出る確率を求めよ。

 

同じ誕生日

 

2月29日が誕生日の人はこの世にいないものとして考える。*5

生徒を何人集めれば、その中に同じ誕生日である人のペア(例えば7月14日と7月14日)が少なくとも1組いる確率が半分(2分の1、0.5)を超えるだろう。

 

なくしたチケット

1000人が乗れる飛行機がある。

1000人全員が順番に飛行機に乗り込んでいくのだが、一番先頭の人がチケットをなくしたらしく、自分の席がわからなくなったため、適当な座席に座った。

 

先頭の次の人からは、次の2つの規則に従い座席に座ることにする。

  • 自分の座席のところが空いていればそちらに座る。
  • 自分の座席が空いていなければ、適当な位置に座る。

このとき、一番最後の人がちゃんと自分の席に座れる確率を求めよ。

 

席替えしよう

49人掛けの教室がある。部屋の座席は7×7の正方形の配置になっている。

席替えをするときは、袋に1~49までの番号が書かれたボール49個を入れ、生徒49人が順番に引いてゆく。ボールの番号と座席の対応関係は以下のようになっている。

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あなたがもし一番左の一番下……つまり43番の席に座りたいとすれば、いつぐらいにボールを引くのが良いだろう。

 

先手と後手どっちが有利?

袋の中に白いボールが300個、赤いボールが1個入っている。

先手、後手に分かれ、先手から袋に手を突っ込みボールを1個ずつ取り出していく。

出たのが白いボールならばゲーム続行、赤いボールが出た時点で勝負終了、赤いボールを取り出したほうの勝ちとする。

このとき、先手と後手ではどちらが有利だろうか、それとも変わらないだろうか。

 

 

偽陽性問題

A国では「カクリツ菌」というウイルスが蔓延し始めていた。

感染しているのは全国民のうちの5%である。急きょ検査薬が作られたが完全なものではなく、実際にカクリツ菌に感染している人が受けると90%の確率で陽性が、実際にはカクリツ菌に感染していない人が受けると90%の確率で陰性が出るという。

(つまり、陽性という結果は「感染してる」、陰性という結果は「感染してない」を示すが、本当にそうなのかはわからない)

ある時、Bさんがこの検査を受けると陽性が出た。このとき、本当にBさんがカクリツ菌に感染している確率を求めよ。

 

十発十中のガンマン

 

十発十中の熟練ガンマン1人(赤軍)と、十発一中のヒヨッコガンマン(青軍)10人が対決する。

ルールは以下の通り。

 

  • 発砲はターン制で、1ターンごとの射撃は一斉に行う。つまり赤も青も両方、皆同じタイミングで射撃する。次のターンは生き残った者のみで行い、またもや一斉に射撃する。
  • 射撃されて命中した人は即死、その後の射撃に参加することはない。
  • 赤軍のベテランは上手なので撃てば必ず相手に命中する。命中率100%。
  • 青軍のヒヨッコは10%の確率で相手に命中。このとき、弾をわざとヘンなとこに撃って命中確率を上げたり、味方を撃ったりすることはできない。
  • 両軍とも自殺は不可能。必ず敵軍を撃たねばならない。
  • 対決の終了条件はどちらかの軍が全滅すること。
  • すなわち赤軍の勝利条件は青軍を全滅させることで、青軍の勝利条件は赤軍を全滅させる(ベテラン1人に弾を当てる)こと。

 

このとき、赤軍と青軍、どちらが勝ちやすいだろうか。

 

 

円周率の電話番号

日本のほとんどの携帯電話の番号は3-4-4の合計11ケタである。

 

円周率が完全にランダムな数の列でできていると仮定する。(つまりどの数字の出る割合も等しいものとする)

ランダムなので、当然自分の電話番号も入っているはず。

自分の携帯電話の番号(11ケタ)が円周率に含まれていると確信するには、だいたい何ケタまで調べる必要があるか。

 

言い換えれば、自分の電話番号が含まれる確率が0.99より大きくなるには、円周率何ケタまで調べればよいだろうか。

 

 

以上!問題、終わり!

お疲れ様でした!

 

 

エッセンスと銘打っていますが実際は問題集です。

アマゾンの評価が高くないのはそういう理由です。

 

しかしながら、「直感に反する」という問題をたくさん揃えている点ではぜひお勧めしたい一冊。この記事に載っていない様々な問題が、あなたを待っています。*6

巻末には未解決の確率問題有り。興味がある方は挑戦してみては?

 

 

ソースが不明なのが若干怪しいけど、話のツカミとして絶対に損はない一冊。

三毛猫が生まれる確率、というような雑学マニアにはおなじみの確率から、飛行機で事故に遭う確率、女子高生の娘が飲酒をしている確率、東京のひとができちゃった婚をする確率など、気になるけど調べにくい、さまざまな事象についての本。

 

 

 確率分野ではありませんが、頭をやわらかくしないと解けない、数学の様々な分野を駆使しないと解けない、むずかしい問題達が勢ぞろい。

論理的なパズルの好きな方々にも、脳をフル回転させたい方にもオススメできる本です。

 

 

 

略解(答えバレ対策あり、別記事へのリンク)

 

www.chishikiyoku.com

 

解答はこちらです!皆さんは何問あってたでしょうか……?

*1:モンティホール問題は各自の演習とする

*2:PowerPointによるやっつけ仕事

*3:小学生に割合を教えるのに苦労するのも、ある意味当然でしょう

*4:出目は1から6とする

*5:すみません……

*6:逆に、この本から引用したのもけっこうあります