ちしきよく。

雑多系ブログ。みなさんの「何かを知りたい!」という欲を叶えましょう。

ゲキムズ頭の体操―これが解けたらあなたのIQは……?



あとで読む

図形パズルはお好き?頭を柔らかくしよう

rocketman.hatenablog.com

こちらより引用させていただいてます。

今日はちょっと趣旨を変えてみます。知識詰め込むばっかじゃ退屈なので、あまり知識を必要としない問題を解いてみましょう。発想の転換ってヤツ。

この問題、

むずかったです。でも面白かった

結局答えが謎のままなので、私が答え合わせしてみようかなーと思いました。問題文はこちら。あ、ちゃんと了承は得てますよ。ありがとうございます。

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(上のサイト……「レールの上を進む大学生」から引用させていただいてます)

 ちょっと考えてみませんか?

 

中学校卒業レベルの数学が怪しい方、答えを出した方、図形パズルなんてめんどいわ。IQって何よ?って方は下へどうぞ。答え書いてます。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

等積変形の知識を使います。等積変形とは簡単に言えば、

「面積を同じにしたまま、図形の形を変える」という技術のこと。

例えば三角形

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三角形に関して上の関係が成り立ちます。

つまり、底辺の長さと高ささえわかれば、面積がわかる、と。

逆に言えばこうも言えますね。

面積が同じ三角形を作る最も簡単な方法は、底辺と高さを同じにすることである。

三角形の等積変形

上のサイトが参考になるかと思います。要は、

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赤い線が高さ、紫の線が底辺であり、この二つの三角形の赤い線、紫の線の長さは同じなので、面積も同じだということが言いたい。

これを利用するわけです。では早速進めましょう。

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これが図です。大きさは適当ですが、今回は作図しやすいように5:2にしてます。

で、ここに補助線を引いて、

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こうします。このとき、下のようなことが成り立ちますね。

さっそく等積変形です。△ABCと△ABDについて、

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面積が等しくなることがわかります。だから右側の正三角形を変形できますね。

つまり……

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これが、

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こうなるわけです。

そしてこっちは一旦放っておいて、別のほう、左の正三角形もいじりますよ。

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変形の結果、今こうなってますよ。

ここに

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こういう補助線を引いてあげます。

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このとき、この補助線2本について、2本は平行なので、EDを底辺と見立てると、

△EDGと△EDFの底辺はEDで共通ですね。

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が成り立ちます。だから、

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これが、

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となるのですね。ですから、左の正三角形を変形して、最終的には

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二つの正三角形はこのように変形されるはず。

お疲れ様でした!あとは作業です。これを正三角形に変形します。

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下の辺が辺の長さになる正三角形を作り、

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下の辺と平行な線を引いて、

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その線と正三角形が交わる点、正三角形の一番上の点を通り、その二つの点の中点を真ん中にする円を描きます。

で、この中点と、正三角形の右下の点の間の長さを直径とする円を

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このようにひいてやり、

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その二つの円の交点を通り、正三角形の右下の点を中心とする円を描く。

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そうやって描いた円と、正三角形の右上の辺の交点から始まり、正三角形の左辺に平行な線を引き、そうやって引いた線と正三角形の下の辺との交点をとる。

このとき、図にみえる一回り小さな正三角形が、

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例の最初の三角形と面積の等しい三角形になる。よって、

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これが、二つの正三角形と面積の等しい正三角形になる、というわけです。

お疲れ様でした!!

 

っていうか……。

解けねーよ!!

と思った方のほうが多いと思います。とりあえず第一段階の変形までできればいいと思いますよ(自画自賛)。

 

いい運動でした。一時間くらいかかりました。疲れました。

あ、IQ?

150くらいじゃないですか(適当)

 

追記:これは正答の1つであり、さっきのブログの方……id:rocketman5thさんによれば、中学校の数学の知識で解けてしまうみたい。私が後半で使った変形はおそらく高校レベルを超えてますので、本当の簡単な正解は闇の中。

解説、お願いしまーす!!

 

あと、やられっぱなしも悔しいんで、皆さんが解けそうで解けないくらいのレベルの問題を考えてます。どうぞ!!

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長さが適当な正方形がある。これと面積の等しい「直角でない」三角形を作図せよ。

解答待ってます。答えるかどうかはわからんが。

それでは、また。

 

追記(12月15日)

ご覧になるとわかるかと思いますが、はてブにて親切な方々が楽な解法を教えてくださいました。正直、まったく思いつかなかったです……。

二つの正三角形の長さの辺で直角をはさむ直角三角形を作図。

その斜辺の長さがルートa^2+b^2になることから、この辺の長さをもつ正三角形を書く。

これで完成。

 

めっちゃ楽じゃないですか。

id:SWIMATH2さん、id:zakkieさん

ありがとうございました!

あと、問題を教えてくださったid:rocketman5thさんも。